Основы переменного тока · Электрические цепи синусоидального тока

Действующее значение переменного тока

Приборы и расчёты цепей переменного тока почти всегда оперируют не амплитудой, а действующим значением. Ниже — зачем оно введено, как связано с амплитудой синусоиды и как быстро пересчитать Iₘ ↔ I.

Зачем нужно действующее значение

Мгновенный ток i(t) меняется со временем. Для нагрева проводника важна не «мгновенная картинка», а средняя за период выделяемая мощность. Действующее (среднеквадратичное) значение тока I определяют так: это такой постоянный ток, который за то же время выделяет в том же сопротивлении столько же тепла, сколько данный переменный ток.

I = \sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} i^{2}\,dt}

(2.8)

Аналогично для напряжения:

U = \sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T} u^{2}\,dt}

(2.9)

Связь с амплитудой для синусоиды

Пусть $i = I_m\sin\omega t$ . Подстановка в определение (2.8) даёт классический результат:

I = \dfrac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\,I_m

(2.10)

и обратно $I_m = I\sqrt{2} \approx 1{,}414\,I$ . То же для напряжения: $U = U_m/\sqrt{2}$ .

Рис. 2.3 — Синусоида тока: амплитуда Im и уровень действующего значения I

Что показывают амперметры

Обычные приборы переменного тока градуированы в действующих значениях. Если на щитке написано «220 В», это U, а не Um.

Мощность на активном сопротивлении

Средняя мощность за период при синусоидальном токе через резистор R:

P = I^{2} R = U I

(2.11)

— та же формула, что и для постоянного тока, но I и U — действующие.

Пример

От амплитуды к действующему значению

Синусоидальный ток имеет амплитуду Im = 14,14 А. Найти действующее значение и мгновенное значение при ωt = 90° (максимум).

Действующее значение

I = \dfrac{14{,}14}{\sqrt{2}} = 10\,\text{А}

Мгновенное в максимуме

При sin ωt = 1 получаем i = Im = 14,14 А. Действующее I = 10 А при этом меньше амплитуды — так и должно быть.

Дальше по курсу удобно перейти к комплексным числам: действующие значения и фазы удобно упаковывать в комплексную амплитуду. См. основы комплексных чисел и представление синусоид комплексами.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram

Калькулятор ТОЭ · Решение задач