Основы переменного тока · Электрические цепи синусоидального тока

Получение синусоидальной ЭДС. Характеристики синусоидальных величин

Из закона электромагнитной индукции следует: если поток через контур меняется по синусоиде, ЭДС тоже синусоидальна. Так устроен простейший генератор. Ниже — вывод формулы ЭДС и словарь характеристик любой синусоидальной величины: амплитуда, период, частота, фаза.

Вращающаяся рамка в магнитном поле

Пусть плоская рамка площадью S равномерно вращается с угловой скоростью ω в однородном постоянном поле индукции B. Угол между нормалью к рамке и вектором B в момент t равен ωt (если при t = 0 нормаль совпадала с B):

Рис. 2.1 — Рамка вращается в поле B; угол между нормалью n и индукцией равен ωt

Магнитный поток через рамку

\Phi = B S \cos\omega t = \Phi_m\cos\omega t

(2.1)

где $\Phi_m = B S$ — амплитуда потока (максимум при совпадении нормали с B).

Синусоидальная ЭДС

По закону электромагнитной индукции для одного витка $e = -d\Phi/dt$ :

e = -\dfrac{d}{dt}(\Phi_m\cos\omega t) = \Phi_m\omega\sin\omega t

(2.2)

Обозначим амплитуду ЭДС

E_m = \Phi_m\omega = B S\omega

(2.3)

Тогда мгновенное значение

e = E_m\sin\omega t

(2.4)

Для катушки из w витков потокосцепление Ψ = w Φ, и амплитуда в w раз больше: $E_m = w\Phi_m\omega = w B S\omega$ .

Поток и ЭДС сдвинуты по фазе на 90°: когда поток максимален (cos ωt = 1), скорость его изменения равна нулю и e = 0; когда поток проходит через ноль, ЭДС достигает ±Eₘ.

Характеристики синусоидальной величины

Любую синусоидальную величину (ЭДС, напряжение, ток) записывают в виде

a = A_m\sin(\omega t + \psi)

(2.5)

или через косинус — это та же функция со сдвигом начальной фазы на π/2. Разберём параметры по отдельности.

Рис. 2.2 — Синусоида: амплитуда Em и период T

Мгновенное значение a

Значение величины в данный момент времени t. Для ЭДС это e(t), для тока — i(t). Единицы — вольты, амперы и т.д.

Амплитуда Am

Наибольшее по модулю значение синусоиды. Для ЭДС — Eₘ, для тока — Iₘ. На графике — высота «горба» от оси времени.

Период T и частота f

Период T — время одного полного колебания (с). Частота f = 1/T — число периодов в секунду (Гц). В энергосистемах большинства стран f = 50 Гц, тогда T = 0,02 с.

f = \dfrac{1}{T}

(2.6)

Угловая частота ω

Скорость изменения аргумента синуса (рад/с). Связь с частотой и периодом:

\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}

(2.7)

При f = 50 Гц получаем ω = 314 рад/с (часто округляют до 314).

Фаза и начальная фаза ψ

Аргумент синуса $(\omega t + \psi)$ называют фазой. Величина ψ — начальная фаза: значение фазы при t = 0. Измеряется в радианах (или градусах). От ψ зависит, с какого «места» синусоиды начинается отсчёт времени.

e = E_m\sin(\omega t + \psi_e),\quad i = I_m\sin(\omega t + \psi_i)

(2.8)

Сдвиг фаз φ

Разность начальных фаз двух величин одной частоты:

\varphi = \psi_u - \psi_i

(2.9)

Если φ > 0, напряжение опережает ток на угол φ; если φ < 0 — ток опережает напряжение. На графике сдвиг виден как горизонтальный разнос нулей (или максимумов) Δt = φ / ω.

Рис. 2.3 — Две синусоиды одной частоты со сдвигом по фазе

Запись через косинус

Иногда удобнее писать $a = A_m\cos(\omega t + \psi')$ . Это та же синусоида: $\sin\alpha = \cos(\alpha - \pi/2)$ , поэтому начальные фазы в синусной и косинусной формах отличаются на π/2. В задачах важно не смешивать формы в одной записи без пересчёта ψ.

Пример

Пример 1. ЭДС вращающейся рамки

Рамка из одного витка площадью S = 0,02 м² вращается в поле B = 0,5 Тл с частотой n = 50 об/с. Найдём амплитуду ЭДС и закон e(t), если при t = 0 поток максимален.

Угловая скорость

Частота вращения совпадает с частотой ЭДС: f = 50 Гц,

\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50 = 314\ \text{рад/с}

(2.10)

Амплитуда потока и ЭДС

\Phi_m = B S = 0{,}5\cdot 0{,}02 = 0{,}01\ \text{Вб}

(2.11)

E_m = \Phi_m\omega = 0{,}01\cdot 314 = 3{,}14\ \text{В}

(2.12)

Мгновенное значение

При t = 0 поток максимален → Φ = Φₘ cos ωt → e = Eₘ sin ωt:

e = 3{,}14\sin 314\,t\ \text{В}

(2.13)

Пример

Пример 2. Параметры по заданному закону

Ток задан: i = 5 sin(314 t − 30°) А. Найдём амплитуду, частоту, начальную фазу и значение тока при t = 0.

Считываем параметры

Iₘ = 5 А; ω = 314 рад/с → f = ω/(2π) = 50 Гц; ψᵢ = −30° = −π/6.

Мгновенное значение при t = 0

i(0) = 5\sin(-30^\circ) = 5\cdot(-0{,}5) = -2{,}5\ \text{А}

(2.14)

Отрицательный знак означает: в выбранном положительном направлении ток в этот момент течёт «назад».

Пример

Пример 3. Сдвиг фаз

u = 100 sin(314 t + 60°) В, i = 2 sin(314 t − 30°) А. На какой угол напряжение опережает ток?

\varphi = \psi_u - \psi_i = 60^\circ - (-30^\circ) = 90^\circ

(2.15)

Напряжение опережает ток на 90° — типичная картина для чисто индуктивной цепи (к ней вернёмся позже в главе).

Кратко

Вращение рамки в постоянном поле даёт Φ = Φₘ cos ωt и e = Eₘ sin ωt, где Eₘ = Φₘ ω (для w витков — ещё множитель w).
Синусоиду полностью задают амплитуда, частота (или ω) и начальная фаза.
Сдвиг фаз двух величин одной частоты — разность их начальных фаз.

Дальше — действующее (среднеквадратичное) значение: именно его показывают большинство приборов и им пользуются в расчётах мощности.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →