ТТОЭ123

Основы переменного тока · Электрические цепи синусоидального тока

Основные сведения о комплексных числах

В ТОЭ комплексные числа — рабочий инструмент символического метода: вместо дифференциальных уравнений для синусоид пишут алгебру для комплексов. Здесь — минимум, без которого нельзя читать следующие лекции: формы записи, модуль, аргумент, базовые операции.

Алгебраическая форма

Комплексное число записывают как

A‾=a+jb\underline{A} = a + jb
(2.12)

где a — вещественная часть, b — мнимая, j=−1j = \sqrt{-1} (в электротехнике пишут j, а не i, чтобы не путать с током). На плоскости (a, b) числу соответствует точка или вектор из начала координат.

ajba + jbψ|A|
Рис. 2.4 — Комплексная плоскость: вещественная ось a и мнимая jb

Модуль, аргумент и показательная форма

∣A‾∣=a2+b2|\underline{A}| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
(2.13)
ψ=arg⁡(A‾)=arctg⁡ba\psi = \arg(\underline{A}) = \operatorname{arctg}\dfrac{b}{a}
(2.14)

Квадрант аргумента выбирают по знакам a и b (atan2). Показательная (полярная) форма:

A‾=∣A‾∣ ejψ=∣A‾∣(cos⁡ψ+jsin⁡ψ)\underline{A} = |\underline{A}|\,e^{j\psi} = |\underline{A}|(\cos\psi + j\sin\psi)
(2.15)
1

Сложение

По отдельности складывают вещественные и мнимые части: удобно в алгебраической форме.

2

Умножение и деление

Удобнее в показательной: модули перемножают (делят), аргументы складывают (вычитают).

A1ejψ1⋅A2ejψ2=A1A2 ej(ψ1+ψ2)A_1 e^{j\psi_1}\cdot A_2 e^{j\psi_2} = A_1 A_2\, e^{j(\psi_1+\psi_2)}
(2.16)
3

Сопряжённое число

A‾∗=a−jb\underline{A}^* = a - jb — отражение относительно вещественной оси; модуль тот же, аргумент −ψ.

Пример

Перевод a + jb → модуль и аргумент

Дано A‾=3+j4\underline{A} = 3 + j4. Найти модуль и аргумент, записать показательную форму.

1

Модуль

∣A‾∣=32+42=5|\underline{A}| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5
2

Аргумент

ψ=arctg⁡43≈53,13∘\psi = \operatorname{arctg}\dfrac{4}{3} \approx 53{,}13^\circ

Обе части положительны — первый квадрант, угол острый.

3

Показательная форма

A‾=5 ej 53,13∘\underline{A} = 5\,e^{j\,53{,}13^\circ}

Как этими числами кодируют синусоиды напряжения и тока — в следующей лекции. Калькулятор цепей на сайте пока считает постоянный ток; для тренировки комплексов удобны разборы и калькулятор ТОЭ на DC-схемах, пока AC-режим в приложении не появился.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решениеНаписать в Telegram

Калькулятор ТОЭ · Решение задач