ТТОЭ123

Основы переменного тока · Электрические цепи синусоидального тока

Представление синусоидальных функций времени комплексными числами

Символический метод заменяет синусоиду одним комплексным числом — комплексной амплитудой (или комплексом действующего значения). Здесь — правило перехода туда и обратно и типичные обозначения в задачах ТОЭ.

От синусоиды к комплексу

Пусть напряжение

u=Umsin⁡(ωt+ψu)u = U_m\sin(\omega t + \psi_u)
(2.17)

Ему сопоставляют комплексную амплитуду

U‾m=Umejψu=Um(cos⁡ψu+jsin⁡ψu)\underline{U}_m = U_m e^{j\psi_u} = U_m(\cos\psi_u + j\sin\psi_u)
(2.18)

Часто работают сразу с комплексом действующего значения:

U‾=Uejψu=U‾m2\underline{U} = U e^{j\psi_u} = \dfrac{\underline{U}_m}{\sqrt{2}}
(2.19)

Модуль |U| — действующее значение U = Um/√2; аргумент — начальная фаза ψu. Частоту ω в комплекс не кладут: для установившегося режима она общая у всех синусоид схемы.

Űψtu(t)
Рис. 2.5 — Вектор (комплекс) на плоскости соответствует синусоиде во времени

Обратный переход

Если известен комплекс действующего значения U‾=Uejψ\underline{U} = U e^{j\psi}, мгновенное значение восстанавливают так:

u=2 Usin⁡(ωt+ψ)=Umsin⁡(ωt+ψ)u = \sqrt{2}\,U\sin(\omega t + \psi) = U_m\sin(\omega t + \psi)
(2.20)

То же правило для тока: i  ⟷  I‾i \;\longleftrightarrow\; \underline{I}.

1

Одинаковая частота

Комплексы складывают и сравнивают только у величин одной ω. Разные гармоники считают отдельно.

2

Фаза — это аргумент

Если ток отстаёт от напряжения на φ, то arg⁡(I‾)=arg⁡(U‾)−φ\arg(\underline{I}) = \arg(\underline{U}) - \varphi (при выбранной записи через sin).

3

Запись в условии задачи

Часто пишут «U = 100 В, ψ = 30°» или «Ű = 100∠30°» — имеется в виду действующее значение и начальная фаза комплекса U.

Пример

Синусоида → комплекс действующего значения

Дано u=141,4sin⁡(ωt+30∘)u = 141{,}4\sin(\omega t + 30^\circ) В. Записать комплекс действующего значения U.

1

Амплитуда и действующее

Um=141,4 В,U=141,42=100 ВU_m = 141{,}4\,\text{В},\quad U = \dfrac{141{,}4}{\sqrt{2}} = 100\,\text{В}
2

Комплекс

U‾=100 ej 30∘=100(cos⁡30∘+jsin⁡30∘)\underline{U} = 100\,e^{j\,30^\circ} = 100(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ)
U‾=86,6+j 50 В\underline{U} = 86{,}6 + j\,50\,\text{В}

Предыдущий шаг — основы комплексных чисел; действующие значения разобраны в лекции про действующее значение тока. Практика на DC-схемах — в калькуляторе ТОЭ.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решениеНаписать в Telegram

Калькулятор ТОЭ · Решение задач