Метод расчёта цепей · Электрические цепи постоянного тока

Метод эквивалентного генератора

Нужен ток только в одной ветви — не обязательно решать всю схему. Выделяем эту ветвь, остальное заменяем эквивалентным генератором (Eэкв и Rэкв) по теореме об активном двухполюснике и считаем один контур. Особенно удобно, когда сопротивление ветви меняют несколько раз, а остальная схема та же.

Идея метода

Разрезаем схему на две части: исследуемую ветвь (с искомым током) и всё остальное. Остальное — активный двухполюсник с зажимами a и b. Его заменяют генератором:

E_{\mathrm{экв}} = U_{\mathrm{хх}}, \qquad R_{\mathrm{экв}} = R_{\mathrm{вх}}

(9.1)

Рис. 9.1 — Остальная схема свёрнута к Eэкв и Rэкв; справа — исследуемая ветвь

Ток исследуемой ветви (если в ней нет своей ЭДС):

I = \dfrac{E_{\mathrm{экв}}}{R_{\mathrm{экв}} + R_{\mathrm{н}}}

(9.2)

Если в самой ветви есть ЭДС Eн, направленная от a к b, то

I = \dfrac{E_{\mathrm{экв}} + E_{\mathrm{н}}}{R_{\mathrm{экв}} + R_{\mathrm{н}}}

(9.3)

(знак Eн — «плюс», если она содействует току a → b).

Алгоритм

Выделяем исследуемую ветвь

Помечаем зажимы a и b, к которым она подключена. Всё, что лежит «по ту сторону» зажимов, считаем активным двухполюсником. Ток в ветви с идеальным источником тока этим методом не ищут — он уже задан.

Режим холостого хода: Uхх

Отключаем исследуемую ветвь. Любым методом (делитель, узловые потенциалы, контурные токи) находим напряжение между a и b. Это $E_{\mathrm{экв}} = U_{\mathrm{хх}}$ . Полярность ЭДС генератора совпадает с полярностью Uхх.

Находим Rэкв

В схеме без исследуемой ветви исключаем источники двухполюсника: идеальные ЭДС → перемычки, источники тока → разрывы. Входное сопротивление относительно a–b и есть Rэкв. Либо замыкаем a–b накоротко в активной схеме (без нагрузки), находим Iкз и считаем $R_{\mathrm{экв}} = U_{\mathrm{хх}} / I_{\mathrm{кз}}$ .

Собираем эквивалентный контур

Рисуем Eэкв, Rэкв и исследуемую ветвь. Ток — по (9.2) или (9.3). Знак «минус» означает: реальный ток течёт от b к a.

Пример

Ветвь нагрузки при ЭДС и источнике тока

В схеме рис. 9.2: E = 40 В (стрелка к узлу b), R₁ = R₂ = 10 Ом, источник тока J = 2 А втекает в узел a, нагрузка Rн = 5 Ом между a и b. Нужен ток нагрузки — выделяем ветвь Rн.

Рис. 9.2 — Исходная схема; исследуемая ветвь — Rн между зажимами a и b

Холостой ход

Отключаем Rн. Остаются E, R₁, R₂ и J (рис. 9.3).

Рис. 9.3 — Схема холостого хода — нагрузка снята

Проводимости ветвей с резисторами $g_1 = g_2 = 0{,}1\ \text{См}$ . Уравнение узла a (φ_b = 0):

(g_1 + g_2)\,\varphi_a = E\, g_1 + J

(9.4)

0{,}2\,\varphi_a = 40\cdot 0{,}1 + 2 = 6 \implies \varphi_a = 30\ \text{В}

(9.5)

U_{\mathrm{хх}} = \varphi_a - \varphi_b = 30\ \text{В} = E_{\mathrm{экв}}

(9.6)

Эквивалентное сопротивление

ЭДС заменяем перемычкой, источник тока размыкаем (рис. 9.4).

Рис. 9.4 — Пассивная схема для Rэкв: R₁ ∥ R₂

R_{\mathrm{экв}} = R_1 \parallel R_2 = \dfrac{10\cdot 10}{10+10} = 5\ \text{Ом}

(9.7)

Ток нагрузки

Рис. 9.5 — Эквивалентный контур: Eэкв = 30 В, Rэкв = 5 Ом, Rн = 5 Ом

I_{\mathrm{н}} = \dfrac{E_{\mathrm{экв}}}{R_{\mathrm{экв}} + R_{\mathrm{н}}} = \dfrac{30}{5+5} = 3\ \text{А}

(9.8)

Ток направлен от a к b. Напряжение на нагрузке $U_{\mathrm{н}} = 3\cdot 5 = 15\ \text{В}$ .

Проверка узловыми потенциалами

В полной схеме (с Rн) проводимость нагрузки $g_{\mathrm{н}} = 0{,}2\ \text{См}$ :

(0{,}1+0{,}1+0{,}2)\,\varphi_a = 40\cdot 0{,}1 + 2 = 6 \implies \varphi_a = 15\ \text{В}

(9.9)

I_{\mathrm{н}} = \dfrac{\varphi_a}{R_{\mathrm{н}}} = \dfrac{15}{5} = 3\ \text{А}

(9.10)

Совпало с методом эквивалентного генератора.

Если меняется только Rн

Eэкв и Rэкв уже известны. Для другой нагрузки пересчитывают только (9.2):

R_{\mathrm{н}} = 10\ \text{Ом}:\quad I = \dfrac{30}{5+10} = 2\ \text{А}

(9.11)

R_{\mathrm{н}} = 1\ \text{Ом}:\quad I = \dfrac{30}{5+1} = 5\ \text{А}

(9.12)

Частые ошибки

забывают исключить источники при расчёте Rэкв (оставляют E в схеме — получают не сопротивление, а бессмыслицу);
путают полярность Eэкв: она должна совпадать с Uхх на зажимах;
ищут этим методом ток идеального источника тока — он фиксирован и равен J;
складывают мощности «по генератору и по исходной схеме» без проверки знаков: удобнее проверить ток другим методом (как в шаге 4 примера).

Когда применять

нужен ток (или напряжение) только в одной ветви;
сопротивление этой ветви варьируют при неизменной остальной схеме;
схема «большая», а исследуемая ветвь на периферии — считать Uхх и Rвх проще, чем полную систему Кирхгофа.

Теоретическая основа — теорема об активном двухполюснике. Здесь — рабочий алгоритм «ветвь → Uхх → Rэкв → ток».

В калькуляторе выберите метод «Эквивалентный генератор» и укажите целевую ветвь — появятся схемы холостого хода, пассивная схема для Rэкв и итоговый ток по шагам.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →