Двухполюсники · Электрические цепи постоянного тока

Пассивный и активный двухполюсники. Теорема об активном двухполюснике

Любой фрагмент цепи с двумя выводами можно мысленно спрятать в «коробку» — двухполюсник. Если внутри есть источники, коробку снаружи часто удаётся заменить одним эквивалентным генератором: ЭДС и внутренним сопротивлением. На этом стоит метод расчёта тока в одной выделенной ветви.

Что такое двухполюсник

Двухполюсник — часть электрической цепи, связанная с остальной схемой ровно двумя зажимами (выводами). На чертеже его обозначают прямоугольником с двумя выводами a и b — «чёрный ящик», содержимое которого нас в этот момент не интересует.

Рис. 8.1 — Условное обозначение двухполюсника с зажимами a и b

Пассивный и активный

Пассивный двухполюсник не содержит источников энергии (или все источники внутри взаимно скомпенсированы). Снаружи он ведёт себя как одно эквивалентное сопротивление.
Активный двухполюсник содержит нескомпенсированные источники ЭДС или тока. На разомкнутых зажимах у него есть напряжение даже без внешней нагрузки.

Рис. 8.2 — Пассивный двухполюсник — только резисторы; активный — есть источник

Входное сопротивление пассивного двухполюсника

Если к зажимам пассивного двухполюсника подключить пробный источник и измерить ток, отношение напряжения к току — входное сопротивление:

R_{\mathrm{вх}} = \dfrac{U_{ab}}{I}

(8.1)

Его находят свёрткой схемы (последовательные и параллельные соединения, преобразования звезда–треугольник) либо расчётом при пробном источнике. Для активного двухполюсника перед этим все идеальные ЭДС заменяют перемычками, источники тока — разрывами (как в методе наложения).

Теорема об активном двухполюснике

Любой линейный активный двухполюсник по отношению к внешней ветви, подключённой к его зажимам, эквивалентен генератору с ЭДС $E_{\mathrm{экв}}$ и внутренним сопротивлением $R_{\mathrm{экв}}$ , где:

E_{\mathrm{экв}} = U_{\mathrm{хх}}

(8.2)

R_{\mathrm{экв}} = R_{\mathrm{вх}}

(8.3)

Здесь $U_{\mathrm{хх}}$ — напряжение на разомкнутых зажимах (режим холостого хода), а $R_{\mathrm{вх}}$ — входное сопротивление того же двухполюсника после исключения всех внутренних источников. Эту теорему также называют теоремой Гельмгольца–Тевенена или теоремой об эквивалентном генераторе.

Рис. 8.3 — Эквивалентный генератор: Eэкв, Rэкв и внешняя нагрузка Rн

Ток в нагрузке:

I = \dfrac{E_{\mathrm{экв}}}{R_{\mathrm{экв}} + R_{\mathrm{н}}}

(8.4)

Другая формула для внутреннего сопротивления — через ток короткого замыкания зажимов a–b:

R_{\mathrm{экв}} = \dfrac{U_{\mathrm{хх}}}{I_{\mathrm{кз}}}

(8.5)

Как найти параметры генератора

Напряжение холостого хода

Отключаем внешнюю ветвь (нагрузку). Любым методом считаем напряжение между зажимами a и b — это $E_{\mathrm{экв}} = U_{\mathrm{хх}}$ . Полярность ЭДС эквивалентного генератора совпадает с полярностью Uхх.

Внутреннее сопротивление

Исключаем источники внутри двухполюсника (ЭДС → перемычка, J → разрыв) и находим входное сопротивление относительно a–b. Либо замыкаем зажимы накоротко в исходной активной схеме, находим $I_{\mathrm{кз}}$ и пользуемся (8.5).

Подключаем нагрузку

Рисуем эквивалентный генератор и нагрузку — один контур, ток по (8.4). Если в самой нагрузке есть ЭДС, она входит в числитель со своим знаком.

Пример

Делитель напряжения и нагрузка

Источник E = 36 В, резисторы R₁ = 6 Ом и R₂ = 12 Ом образуют делитель; к зажимам a–b (параллельно R₂) подключена нагрузка Rн = 4 Ом (рис. 8.4). Всё слева от a–b — активный двухполюсник. Найдём его эквивалентный генератор и ток нагрузки.

Рис. 8.4 — Исходная схема: активный двухполюсник и нагрузка Rн

Холостой ход: отключаем Rн

Рис. 8.5 — Режим холостого хода — нагрузка снята

R₁ и R₂ образуют делитель:

U_{\mathrm{хх}} = E\cdot\dfrac{R_2}{R_1+R_2} = 36\cdot\dfrac{12}{6+12} = 24\ \text{В}

(8.6)

Значит $E_{\mathrm{экв}} = 24\ \text{В}$ (плюс у зажима a).

Rэкв: исключаем ЭДС

Рис. 8.6 — Пассивная схема: E заменена перемычкой, R₁ ∥ R₂

R_{\mathrm{экв}} = R_1 \parallel R_2 = \dfrac{6\cdot 12}{6+12} = 4\ \text{Ом}

(8.7)

Проверка через ток КЗ зажимов a–b: при коротком замыкании R₂ зашунтирован, Iкз = E/R₁ = 36/6 = 6 А, тогда Rэкв = Uхх/Iкз = 24/6 = 4 Ом — то же самое.

Ток нагрузки

I_{\mathrm{н}} = \dfrac{E_{\mathrm{экв}}}{R_{\mathrm{экв}}+R_{\mathrm{н}}} = \dfrac{24}{4+4} = 3\ \text{А}

(8.8)

Напряжение на нагрузке $U_{\mathrm{н}} = I_{\mathrm{н}} R_{\mathrm{н}} = 12\ \text{В}$ .

Зачем это удобно

Если нужно перебрать несколько значений Rн (например, 2 Ом, 4 Ом, 8 Ом), параметры Eэкв и Rэкв считают один раз, а ток каждый раз — по простой формуле (8.4). Полный пересчёт всей схемы не нужен.

R_{\mathrm{н}}=2\ \text{Ом}:\ I=\dfrac{24}{4+2}=4\ \text{А}; \quad R_{\mathrm{н}}=8\ \text{Ом}:\ I=\dfrac{24}{4+8}=2\ \text{А}

(8.9)

Связь со следующей темой

Теорема говорит, что активный двухполюсник можно заменить генератором. Практический пошаговый приём «выделили ветвь → нашли Uхх и Rэкв → посчитали ток» называют методом эквивалентного генератора — ему посвящена следующая лекция. Здесь главное — смысл пассивного и активного двухполюсника и сами равенства (8.2)–(8.5).

В калькуляторе метод «Эквивалентный генератор» как раз строит Uхх, Rэкв и ток выбранной ветви по этой теореме.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →