Основы переменного тока · Электрические цепи синусоидального тока

Закон электромагнитной индукции

Вся глава о синусоидальном токе опирается на один факт: при изменении магнитного потока, сцепленного с контуром, в нём возникает ЭДС. Отсюда — генераторы переменного тока, трансформаторы, катушки индуктивности. Ниже — поток, потокосцепление, формула Фарадея и правило Ленца.

Магнитный поток

Через плоский контур площадью S в однородном магнитном поле с индукцией B проходит магнитный поток

\Phi = B S \cos\alpha

(1.1)

где α — угол между вектором B и нормалью к плоскости контура. Единица потока в СИ — вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл · м².

Рис. 1.1 — Поток через контур: Φ = B S cos α

Если поле неоднородно, поток считают как интеграл $\Phi = \int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$ по поверхности, натянутой на контур.

Потокосцепление

Катушка из w витков «сцеплена» с потоком многократно. Если каждый виток пронизывает один и тот же поток Φ, потокосцепление

\Psi = w\,\Phi

(1.2)

Рис. 1.2 — Катушка: потокосцепление Ψ равно сумме потоков через все витки

Для одного витка Ψ = Φ. В общем случае, если потоки через витки разные, Ψ — их алгебраическая сумма.

Закон электромагнитной индукции

ЭДС, индуцируемая в контуре (катушке), равна скорости изменения потокосцепления, взятой с противоположным знаком:

e = -\dfrac{d\Psi}{dt}

(1.3)

Для одного витка $e = -d\Phi/dt$ . Причина изменения потока может быть любой: меняется B, площадь контура, ориентация или контур движется в поле — величина ЭДС зависит только от скорости изменения Ψ.

Единицы согласованы: 1 В = 1 Вб/с. Знак «минус» — не формальность, а правило Ленца.

Правило Ленца

Индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению потока, которое его вызвало:

поток через контур растёт — поле тока направлено против внешнего поля (мешает росту);
поток убывает — поле тока поддерживает прежнее направление потока (мешает убыванию).

Рис. 1.3 — Правило Ленца: при приближении магнита индукционный ток создаёт поле, отталкивающее магнит

В формуле (1.3) минус как раз и кодирует это противодействие: если Ψ растёт (dΨ/dt > 0), эдс e отрицательна относительно выбранного положительного направления обхода контура.

Как может меняться поток

Изменение индукции B

Классика лабораторного опыта: двигают постоянный магнит относительно катушки или меняют ток в соседней обмотке. Так работают трансформатор и генератор с электромагнитом.

Изменение площади или формы контура

Растягивают петлю в магнитном поле — меняется S, появляется ЭДС.

Изменение ориентации (вращение)

Контур (рамка) вращается в постоянном поле — меняется угол α, поток синусоидален во времени. Это модель получения синусоидальной ЭДС — следующая тема главы.

Пример

Пример 1. Поток через рамку

Квадратная рамка со стороной a = 10 см лежит в однородном поле B = 0,4 Тл. Нормаль к рамке составляет с вектором B угол α = 60°. Найдём магнитный поток.

Площадь

S = a^2 = (0{,}1)^2 = 0{,}01\ \text{м}^2

(1.4)

Поток

\Phi = B S \cos 60^\circ = 0{,}4\cdot 0{,}01\cdot 0{,}5 = 0{,}002\ \text{Вб} = 2\ \text{мВб}

(1.5)

Пример

Пример 2. ЭДС в катушке

Катушка из w = 200 витков сцеплена с потоком, который за Δt = 0,05 с равномерно убывает с Φ₁ = 4 мВб до Φ₂ = 1 мВб. Найдём среднее значение ЭДС индукции.

Изменение потокосцепления

\Delta\Psi = w(\Phi_2 - \Phi_1) = 200\cdot(0{,}001 - 0{,}004) = -0{,}6\ \text{Вб}

(1.6)

Средняя ЭДС

При равномерном изменении среднее значение совпадает с $-\Delta\Psi / \Delta t$ :

e_{\mathrm{ср}} = -\dfrac{\Delta\Psi}{\Delta t} = -\dfrac{-0{,}6}{0{,}05} = 12\ \text{В}

(1.7)

Поток убывал — по правилу Ленца ЭДС (и ток в замкнутой цепи) стремится поддержать поток, то есть создать поле прежнего направления.

Пример

Пример 3. Линейный рост потока

Потокосцепление катушки меняется по закону Ψ(t) = 0,08 t (Вб, t в секундах). Чему равна мгновенная ЭДС?

e(t) = -\dfrac{d\Psi}{dt} = -0{,}08\ \text{В} = \mathrm{const}

(1.8)

При линейном росте Ψ эдс постоянна. Если затем поток станет синусоидальным во времени — эдс тоже будет синусоидой (со сдвигом по фазе): к этому перейдём, когда разберём получение синусоидальной ЭДС.

Связь со следующей темой

Если рамку вращать в постоянном магнитном поле с угловой скоростью ω, угол α = ωt, поток Φ = Φₘ cos ωt, и по (1.3) получается синусоидальная ЭДС. Так устроен простейший генератор переменного тока — об этом следующая лекция.

Дальше в главе: действующее значение, векторы и комплексы — инструменты, которыми считают уже цепи с R, L и C при синусоидальном токе.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →