Основы ТОЭ · Электрические цепи постоянного тока

Закон Ома для участка цепи с ЭДС

Обычный закон Ома связывает ток и напряжение на резисторе. Но в задачах ТОЭ участок цепи часто содержит не только сопротивление, а ещё источник ЭДС. Тогда ток зависит сразу от разности потенциалов на концах участка и от того, помогает источник выбранному направлению тока или мешает ему.

Рис. 2.1 — Участок цепи с сопротивлением R и источником ЭДС E между узлами a и b

Откуда берётся формула

Пусть ток в ветви выбран от узла a к узлу b. На резисторе возникает падение напряжения $I R$ . Источник ЭДС E внутри этой же ветви добавляет или вычитает напряжение в зависимости от полярности. Для схемы на рис. 2.1 источник направлен от a к b, поэтому он «подталкивает» положительный заряд в выбранную сторону.

\varphi_a - \varphi_b + E = I R

(2.1)

Отсюда получаем обобщённый закон Ома для участка цепи с ЭДС:

I_{ab} = \dfrac{\varphi_a - \varphi_b + E_{ab}}{R}

(2.2)

Здесь $E_{ab}$ — алгебраическая сумма ЭДС в ветви при обходе от a к b. Если источник направлен от a к b, берём его со знаком «плюс». Если против направления a → b — со знаком «минус».

U_{ab} = \varphi_a - \varphi_b,\qquad I_{ab} = \dfrac{U_{ab} + E_{ab}}{R}

(2.3)

Правило знаков ЭДС

Самая частая ошибка — механически ставить E с плюсом. Правильный знак зависит не от того, где на рисунке плюс источника, а от того, как мы идём по ветви относительно действия источника.

Рис. 2.2 — Знак ЭДС в формуле: источник помогает выбранному току или направлен против него

Задаём направление тока

Направление можно выбрать произвольно. Например, считаем, что ток идёт от a к b. Если в конце получится отрицательное значение, это не ошибка: настоящий ток идёт от b к a.

Смотрим направление ЭДС

У источника ЭДС направление принято от «минуса» к «плюсу» внутри источника. Если при движении от a к b мы переходим через источник от минуса к плюсу, в формуле будет $+E$ . Если от плюса к минусу — $-E$ .

Подставляем в обобщённый закон Ома

Сопротивления ветви складываем в знаменателе, а все источники ЭДС в этой ветви складываем алгебраически в числителе:

I = \dfrac{\varphi_a - \varphi_b + \sum E_{\text{по } I} - \sum E_{\text{против } I}}{\sum R}

(2.4)

Частные случаи

Если источника ЭДС в ветви нет, обобщённый закон Ома превращается в обычный закон Ома для пассивного участка:

E_{ab}=0,\qquad I_{ab} = \dfrac{\varphi_a-\varphi_b}{R} = \dfrac{U_{ab}}{R}

(2.5)

Если участок замкнут сам на себя и внешней разности потенциалов между концами нет, ток задаётся только источниками ЭДС и сопротивлениями:

I = \dfrac{\sum E}{\sum R}

(2.6)

Для реального источника с внутренним сопротивлением r и внешней нагрузкой R формула становится уже знакомым выражением:

I = \dfrac{E}{R+r},\qquad U_{\text{заж}} = E - I r

(2.7)

Пример

Участок с известными потенциалами

Между узлами a и b включены резистор R = 8 Ом и источник ЭДС E = 12 В. Потенциалы узлов: φₐ = 30 В, φᵦ = 10 В. Источник направлен от a к b. Найдём ток, считая положительным направление a → b.

Рис. 2.3 — Схема примера: источник ЭДС направлен в сторону выбранного тока

Разность потенциалов участка

\varphi_a - \varphi_b = 30 - 10 = 20\ \text{В}

(2.8)

Знак ЭДС

Источник направлен от a к b, как и выбранный ток. Значит, в числителе стоит $+E$ .

E_{ab}=+12\ \text{В}

(2.9)

Ток по закону Ома для участка с ЭДС

I_{ab} = \dfrac{20 + 12}{8} = 4\ \text{А}

(2.10)

Ответ положительный, значит реальный ток действительно течёт от a к b.

Пример

Замкнутая цепь с несколькими источниками

В одном контуре последовательно соединены сопротивления R₁ = 4 Ом и R₂ = 6 Ом. Источники: E₁ = 24 В и E₂ = 8 В помогают выбранному току, а E₃ = 6 В направлен против него. Найдём ток контура.

Рис. 2.4 — Один контур: две ЭДС помогают выбранному току, одна направлена встречно

Суммарное сопротивление

R_{\Sigma} = R_1 + R_2 = 4 + 6 = 10\ \text{Ом}

(2.11)

Алгебраическая сумма ЭДС

\sum E = E_1 + E_2 - E_3 = 24 + 8 - 6 = 26\ \text{В}

(2.12)

Ток контура

I = \dfrac{\sum E}{R_{\Sigma}} = \dfrac{26}{10} = 2{,}6\ \text{А}

(2.13)

Ток положительный, значит выбранное направление обхода совпало с фактическим направлением тока.

Проверка по балансу напряжений

Падение напряжения на сопротивлениях должно равняться результирующей ЭДС контура:

I(R_1+R_2)=2{,}6\cdot10=26\ \text{В}=\sum E

(2.14)

Баланс сошёлся, решение согласовано.

Как не запутаться на экзамене

Не меняйте направление в середине решения

Выбрали ток a → b — ведите все знаки относительно этого направления до конца. Отрицательный ответ сам скажет, что реальный ток идёт наоборот.

Сначала пишите буквенную формулу

Не подставляйте числа сразу. Сначала запишите $I=(\varphi_a-\varphi_b+E_{ab})/R$ , отметьте знак ЭДС, и только потом считайте.

Проверяйте размерность

В числителе должны быть вольты, в знаменателе омы, ответ получается в амперах: $\text{В}/\text{Ом}=\text{А}$ .

В следующей теме этот же принцип используется при составлении уравнений Кирхгофа: каждый контур и каждый узел требуют аккуратного выбора знаков.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →