Преобразования схем · Электрические цепи постоянного тока

Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений

Не в каждой схеме есть участки, которые сразу складываются последовательно или параллельно. Тогда фрагмент из трёх сопротивлений в виде треугольника заменяют звездой (или наоборот) — снаружи цепи ничего не меняется, а внутри появляются последовательные и параллельные соединения, и расчёт упрощается.

Что такое треугольник и звезда

Треугольник — три сопротивления между тремя узлами 1, 2, 3: каждое лежит на стороне «между парой узлов». Звезда — три сопротивления, сходящиеся в общем внутреннем узле O; внешние концы присоединены к тем же узлам 1, 2, 3.

Рис. 7.1 — Треугольник R₁₂, R₂₃, R₃₁ и эквивалентная звезда R₁, R₂, R₃

Преобразование эквивалентно, если при замене одного фрагмента другим токи и напряжения во всей остальной схеме (на зажимах 1, 2, 3) не изменяются.

Откуда берутся формулы

Условие эквивалентности удобно записать, отключая по очереди один из внешних выводов. Например, оторвали вывод 1: сопротивление между узлами 2 и 3 у треугольника и у звезды должно совпасть:

R_2 + R_3 = R_{23}\,\parallel\,(R_{12}+R_{31}) = \dfrac{R_{23}(R_{12}+R_{31})}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}

(7.1)

Аналогично для двух других пар узлов. Решая систему из трёх таких равенств относительно лучей звезды, получают формулы ниже. Обратное преобразование — решение той же системы относительно сторон треугольника.

Треугольник → звезда

Луч звезды, подходящий к узлу, равен произведению двух сторон треугольника, сходящихся в этом узле, делённому на сумму всех трёх сторон:

R_1 = \dfrac{R_{12}\, R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}

(7.2)

R_2 = \dfrac{R_{12}\, R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}

(7.3)

R_3 = \dfrac{R_{23}\, R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}

(7.4)

Мнемоника: «к узлу — произведение прилегающих сторон, в знаменателе — сумма всех». Для симметричного треугольника $R_{12}=R_{23}=R_{31}=R$ каждый луч звезды равен $R/3$ .

Звезда → треугольник

Сторона треугольника между двумя узлами — сумма двух лучей звезды, подходящих к этим узлам, плюс их произведение, делённое на третий луч:

R_{12} = R_1 + R_2 + \dfrac{R_1 R_2}{R_3}

(7.5)

R_{23} = R_2 + R_3 + \dfrac{R_2 R_3}{R_1}

(7.6)

R_{31} = R_3 + R_1 + \dfrac{R_3 R_1}{R_2}

(7.7)

Для симметричной звезды $R_1=R_2=R_3=r$ каждая сторона треугольника равна $3r$ . Проверка: звезда с лучами 10 Ом ↔ треугольник со сторонами 30 Ом.

Числовой перевод туда и обратно

Пусть треугольник: R₁₂ = 12 Ом, R₂₃ = 12 Ом, R₃₁ = 24 Ом. Сумма сторон 48 Ом. По (7.2)–(7.4):

R_1 = \dfrac{12\cdot 24}{48} = 6\ \text{Ом}, \quad R_2 = \dfrac{12\cdot 12}{48} = 3\ \text{Ом}, \quad R_3 = \dfrac{12\cdot 24}{48} = 6\ \text{Ом}

(7.8)

Обратно по (7.5)–(7.7) снова получаем исходный треугольник:

R_{12} = 6+3+\dfrac{6\cdot 3}{6} = 12\ \text{Ом}

(7.9)

R_{23} = 3+6+\dfrac{3\cdot 6}{6} = 12\ \text{Ом}, \qquad R_{31} = 6+6+\dfrac{6\cdot 6}{3} = 24\ \text{Ом}

(7.10)

Пример

Мостовая схема: треугольник → звезда

Между узлами A и D включён источник E = 50 В (стрелка к D). Узлы A, B, C образуют равносторонний треугольник из сопротивлений по 30 Ом; от B и C к D идут ещё по 20 Ом (рис. 7.2). Последовательных и параллельных пар «на глаз» нет — преобразуем треугольник ABC в звезду.

Рис. 7.2 — Исходная мостовая схема с треугольником ABC

Треугольник → звезда

R₁₂ = R₂₃ = R₃₁ = 30 Ом. Каждый луч:

R_A = R_B = R_C = \dfrac{30\cdot 30}{30+30+30} = 10\ \text{Ом}

(7.11)

Появляется внутренний узел O. Схема принимает вид рис. 7.3.

Рис. 7.3 — После преобразования: лучи звезды по 10 Ом и два резистора по 20 Ом к узлу D

Сворачиваем последовательные и параллельные участки

Ветвь B–D: R_B + 20 = 10 + 20 = 30 Ом. Ветвь C–D: тоже 30 Ом. Они параллельны между O и D:

R_{OD} = 30 \parallel 30 = 15\ \text{Ом}

(7.12)

Полное сопротивление относительно источника:

R_{\mathrm{вх}} = R_A + R_{OD} = 10 + 15 = 25\ \text{Ом}

(7.13)

Ток источника и токи ветвей

I = \dfrac{E}{R_{\mathrm{вх}}} = \dfrac{50}{25} = 2\ \text{А}

(7.14)

Весь ток I проходит через луч R_A. Между O и D две одинаковые ветви — ток делится пополам:

I_{BD} = I_{CD} = \dfrac{I}{2} = 1\ \text{А}

(7.15)

Потенциал узла O при φ_D = 0:

\varphi_O = I\cdot R_{OD} = 2\cdot 15 = 30\ \text{В}

(7.16)

Проверка: падение на R_A равно $I\cdot 10 = 20\ \text{В}$ , значит φ_A = 30 + 20 = 50 В = E.

Баланс мощностей

P_E = E I = 50\cdot 2 = 100\ \text{Вт}

(7.17)

P_R = I^2 R_A + 2\cdot I_{BD}^2 \cdot 30 = 4\cdot 10 + 2\cdot 1\cdot 30 = 100\ \text{Вт}

(7.18)

(В P_R учтены луч R_A и две ветви по 30 Ом после свёртки; это та же энергия, что рассеивается во всех пяти исходных резисторах.) Баланс сходится.

Когда какое преобразование выбирать

треугольник → звезда — когда после появления внутреннего узла ветви становятся последовательными/параллельными (типичный мост);
звезда → треугольник — когда три луча мешают, а стороны треугольника лягут параллельно уже существующим ветвям между теми же узлами;
преобразование меняет внутреннюю топологию фрагмента: токи внутри заменённых резисторов в новой схеме — другие; совпадают только режимы на внешних зажимах 1, 2, 3.

Если после одного преобразования схема всё ещё «не складывается», иногда делают второе (или считают узловыми потенциалами / контурными токами без преобразований — для небольшой схемы это часто быстрее).

Соберите мост или треугольник в калькуляторе и сравните токи до и после ручного преобразования — на внешних ветвях ответы должны совпасть.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →