Метод расчёта цепей · Электрические цепи постоянного тока

Метод уравнений Кирхгофа

Это самый прямой способ рассчитать любую линейную цепь постоянного тока: неизвестные — токи всех ветвей, а уравнения пишутся прямо по первому и второму законам Кирхгофа. Методов «короче» (узловые потенциалы, контурные токи) много, но именно этот показывает, откуда они все берутся, и его требуют почти в каждой контрольной на первом курсе.

Два закона, на которых стоит метод

Прежде чем составлять систему, коротко напомним сами законы — без них метод превращается в набор формальных правил со знаками.

Первый закон Кирхгофа (закон токов)

Алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю. Физический смысл простой: заряд в узле не накапливается — сколько втекло, столько и вытекло.

\sum_{k} I_k = 0

(3.1)

Рис. 3.1 — Узел a: токи I₁ и I₂ втекают, ток I₃ вытекает — баланс I₁ + I₂ − I₃ = 0

Удобное правило знаков для записи: ток, вытекающий из узла, берём со знаком «+», втекающий — со знаком «−» (или наоборот — главное, одно и то же для всех уравнений). Для рис. 3.1 получается $I_1 + I_2 - I_3 = 0$ , или то же самое: $I_1 + I_2 = I_3$ .

Второй закон Кирхгофа (закон напряжений)

Алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Эквивалентная запись, которой чаще пользуются в задачах: алгебраическая сумма ЭДС контура равна сумме падений напряжения на сопротивлениях.

\sum_{k} E_k = \sum_{k} I_k R_k

(3.2)

Рис. 3.2 — Замкнутый контур с ЭДС E и резисторами R₁, R₂; пунктир — выбранное направление обхода

Правило знаков при обходе контура:

падение $IR$ берём со знаком «+», если ток ветви совпадает с направлением обхода, и «−» — если против;
ЭДС берём со знаком «+», если обход идёт от «−» к «+» источника (потенциал растёт), и «−» — если от «+» к «−».

Сколько уравнений нужно

Пусть в схеме $B$ ветвей и $Y$ узлов, а среди ветвей $B_J$ содержат идеальные источники тока. Токи этих ветвей уже известны ( $I = J$ ), поэтому неизвестных остаётся $B - B_J$ . Столько же независимых уравнений и нужно составить:

\underbrace{(Y - 1)}_{\text{по 1-му закону}} + \underbrace{(B - B_J - Y + 1)}_{\text{по 2-му закону}} = B - B_J

(3.3)

По первому закону пишем уравнения для $Y - 1$ узлов — уравнение последнего узла всегда получается суммой остальных и новой информации не даёт. По второму закону выбираем $B - B_J - Y + 1$ независимых контуров. Независимый контур — тот, в котором есть хотя бы одна ветвь, не вошедшая в уже выбранные контуры. Через ветвь с идеальным источником тока контур для второго закона не проводят: напряжение на таком источнике заранее неизвестно.

Алгоритм расчёта

Размечаем схему

Подписываем узлы, ветви, номиналы. Для каждой ветви произвольно выбираем положительное направление тока и отмечаем его стрелкой. Если решение потом даст отрицательный ток — значит, реально ток течёт в обратную сторону. Это не ошибка, а нормальная часть метода.

Считаем число уравнений

По формуле (3.3) проверяем: сколько уравнений по первому закону, сколько по второму. Сразу видно, не забыли ли источник тока.

Пишем уравнения по первому закону

Для $Y - 1$ узлов — алгебраическая сумма токов равна нулю. Один узел оставляем «в запасе» и по нему потом удобно проверять ответ.

Выбираем независимые контуры и пишем второй закон

Удобно обходить все контуры в одну сторону (например, по часовой стрелке). Для каждого контура записываем (3.2) с правилом знаков выше.

Решаем систему

Получаем СЛАУ относительно токов ветвей — решаем подстановкой, методом Гаусса или на калькуляторе. Из токов сразу находим напряжения ветвей $U = IR$ (с учётом ЭДС — по закону Ома для участка с ЭДС) и мощности.

Проверяем решение

Две быстрые проверки: баланс токов в «запасном» узле и баланс мощностей (сумма мощностей источников равна сумме мощностей потребителей). Если обе сходятся — система собрана верно.

Пример

Три параллельные ветви между двумя узлами

Между узлами a и b включены три ветви: резистор R₁ = 5 Ом последовательно с ЭДС E₁ = 20 В (плюс обращён к узлу a), резистор R₂ = 10 Ом без источника и резистор R₃ = 5 Ом последовательно с ЭДС E₃ = 5 В (плюс тоже к узлу a). Найдём токи всех ветвей и проверим баланс мощностей.

Рис. 3.3 — Схема примера — узлы a и b, три параллельные ветви; токи направлены от a к b

Топология и число уравнений

Ветвей $B = 3$ , узлов $Y = 2$ , источников тока нет ( $B_J = 0$ ). По (3.3):

Y - 1 = 1 \quad\text{(уравнение по 1-му закону)},\qquad B - Y + 1 = 2 \quad\text{(по 2-му закону)}

(3.4)

Неизвестные — токи $I_1, I_2, I_3$ , все направлены от a к b, как на рис. 3.3.

Уравнение по первому закону

Для узла a все три тока вытекают, поэтому:

I_1 + I_2 + I_3 = 0

(3.5)

Уравнение узла b будет тем же с противоположным знаком — его оставляем для проверки.

Уравнения по второму закону

Контур I — ветви 1 и 2, обход по часовой: вниз по ветви 1, вверх по ветви 2. Падение на R₁ совпадает с обходом (+), на R₂ — против (−). ЭДС E₁ обходим от «+» к «−» (−):

I_1 R_1 - I_2 R_2 = E_1

(3.6)

Контур II — ветви 2 и 3, обход вниз по 2 и вверх по 3:

I_2 R_2 - I_3 R_3 = -E_3

(3.7)

(E₃ при обходе снизу вверх идём от «−» к «+», поэтому в правой части (3.2) она входит со знаком «+»; перенося в привычный вид «ΣIR = ΣE», получаем минус в правой части (3.7).)

Подставляем числа и решаем

\begin{cases} I_1 + I_2 + I_3 = 0 \\[4pt] 5\,I_1 - 10\,I_2 = 20 \\[4pt] 10\,I_2 - 5\,I_3 = -5 \end{cases}

(3.8)

Упростим второе и третье уравнения:

I_1 - 2\,I_2 = 4, \qquad 2\,I_2 - I_3 = -1

(3.9)

Из (3.9): $I_1 = 2 I_2 + 4$ , $I_3 = 2 I_2 + 1$ . Подставляем в (3.5):

(2 I_2 + 4) + I_2 + (2 I_2 + 1) = 0 \implies 5 I_2 + 5 = 0 \implies I_2 = -1\ \text{А}

(3.10)

I_1 = 2\cdot(-1) + 4 = 2\ \text{А}, \qquad I_3 = 2\cdot(-1) + 1 = -1\ \text{А}

(3.11)

Знак «минус» у I₂ и I₃ означает: реально эти токи текут от b к a — против стрелок на рис. 3.3. Модули: |I₂| = 1 А, |I₃| = 1 А.

Проверка по первому закону и баланс мощностей

Узел a: $2 + (-1) + (-1) = 0$ — сходится. Мощности резисторов (всегда потребление):

P_{R_1} = I_1^2 R_1 = 2^2 \cdot 5 = 20\ \text{Вт}

(3.12)

P_{R_2} = I_2^2 R_2 = (-1)^2 \cdot 10 = 10\ \text{Вт}

(3.13)

P_{R_3} = I_3^2 R_3 = (-1)^2 \cdot 5 = 5\ \text{Вт}

(3.14)

Источник E₁: ток I₁ идёт от «+» к «−», источник отдаёт энергию:

P_{E_1} = E_1 I_1 = 20 \cdot 2 = 40\ \text{Вт (отдаёт)}

(3.15)

Источник E₃: выбранный ток I₃ отрицательный, реально ток идёт от «−» к «+» — источник работает в режиме потребителя:

P_{E_3} = E_3 |I_3| = 5 \cdot 1 = 5\ \text{Вт (потребляет)}

(3.16)

P_{E_1} = P_{R_1} + P_{R_2} + P_{R_3} + P_{E_3} = 20 + 10 + 5 + 5 = 40\ \text{Вт}

(3.17)

Баланс сошёлся — решение верно.

Когда этот метод удобен, а когда — нет

Метод уравнений Кирхгофа универсален: подходит для любой линейной цепи, в том числе с источниками тока. Но число уравнений равно числу неизвестных токов ветвей — в схеме с 6–8 ветвями система уже неприятна для ручного счёта. Тогда переходят к более экономным методам:

метод узловых потенциалов — уравнений на одно меньше числа узлов (часто всего 1–3);
метод контурных токов — уравнений столько, сколько независимых контуров.

Оба этих метода — по сути компактная перезапись той же системы Кирхгофа. Имеет смысл сначала уверенно решать задачи «в лоб» по законам Кирхгофа, а уже потом переходить к сокращённым схемам записи.

Соберите свою схему в калькуляторе и выберите метод «Уравнения Кирхгофа» — он покажет ту же систему по шагам, но с вашими числами: уравнения для узлов и контуров, подстановку номиналов и баланс мощностей.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →