Метод расчёта цепей · Электрические цепи постоянного тока

Метод контурных токов

Вместо токов всех ветвей вводят столько неизвестных, сколько в схеме независимых контуров — обычно это «окна» плоской схемы. Уравнения пишут только по второму закону Кирхгофа. Там, где контуров меньше, чем узлов, метод контурных токов выгоднее узловых потенциалов; при большом числе узлов — наоборот.

Идея метода

По каждому независимому контуру «пускают» свой контурный ток $I_{\mathrm{к}k}$ . Реальный ток любой ветви — алгебраическая сумма контурных токов, проходящих через эту ветвь. В общей (смежной) ветви двух контуров токи вычитаются, если контурные токи направлены навстречу.

Рис. 5.1 — Два контура с контурными токами Iₖ₁ и Iₖ₂; через общую ветвь R₃ токи направлены навстречу

Система уравнений в общем виде

Для схемы из двух контуров (как на рис. 5.1) уравнения по второму закону Кирхгофа записывают так:

\begin{cases} R_{11}\, I_{\mathrm{к}1} + R_{12}\, I_{\mathrm{к}2} = E_{11} \\[6pt] R_{21}\, I_{\mathrm{к}1} + R_{22}\, I_{\mathrm{к}2} = E_{22} \end{cases}

(5.1)

$R_{11}, R_{22}$ — собственные сопротивления контуров: сумма всех сопротивлений контура;
$R_{12} = R_{21}$ — взаимное сопротивление смежной ветви. Если контурные токи через неё идут навстречу, взаимное сопротивление берут со знаком «минус»;
$E_{11}, E_{22}$ — алгебраические суммы ЭДС контура: ЭДС со знаком «+», если её стрелка совпадает с направлением контурного тока, и «−» — если против.

Число независимых контуров (и уравнений) для схемы без источников тока:

n_{\mathrm{к}} = B - Y + 1

(5.2)

где $B$ — число ветвей, $Y$ — число узлов. При наличии идеальных источников тока часть контурных токов оказывается известной — см. второй пример ниже.

Алгоритм расчёта

Выделяем независимые контуры

На плоской схеме удобно брать «окна». Направление всех контурных токов выбираем одинаковым — чаще по часовой стрелке.

Учитываем источники тока

Если ветвь с идеальным источником тока входит только в один контур, контурный ток этого контура равен току источника (с учётом знака направления). Уравнение для такого контура не составляют — неизвестное уже найдено. Через идеальный источник тока нельзя проводить два разных неизвестных контурных тока.

Пишем уравнения вида (5.1)

Для каждого контура с неизвестным контурным током — собственное сопротивление, взаимные и контурная ЭДС.

Решаем систему и находим токи ветвей

Ток ветви — сумма (или разность) контурных токов, проходящих через неё. Знак «минус» у контурного тока снова означает: реальное направление противоположно выбранному.

Проверяем

Баланс токов в узле и баланс мощностей. Для ветви с источником тока мощность считают как $U_J \cdot J$ , где $U_J$ находят из второго закона Кирхгофа по любому контуру, содержащему эту ветвь.

Пример

Пример 1. Два контура, две ЭДС

В схеме рис. 5.2: R₁ = R₂ = R₃ = 2 Ом, E₁ = 12 В, E₂ = 6 В. Стрелки обеих ЭДС направлены вниз — по выбранным контурным токам. Найдём контурные токи и токи всех ветвей.

Рис. 5.2 — Два контура без источника тока; контурные токи Iₖ₁ и Iₖ₂ — по часовой стрелке

Собственные и взаимные сопротивления

R_{11} = R_1 + R_3 = 2 + 2 = 4\ \text{Ом}

(5.3)

R_{22} = R_2 + R_3 = 2 + 2 = 4\ \text{Ом}

(5.4)

R_{12} = R_{21} = -R_3 = -2\ \text{Ом}

(5.5)

Минус у взаимного сопротивления: через R₃ контурные токи идут навстречу друг другу.

Контурные ЭДС

Обе стрелки ЭДС совпадают с направлениями Iₖ₁ и Iₖ₂, поэтому:

E_{11} = E_1 = 12\ \text{В}, \qquad E_{22} = E_2 = 6\ \text{В}

(5.6)

Система и решение

\begin{cases} 4\, I_{\mathrm{к}1} - 2\, I_{\mathrm{к}2} = 12 \\[4pt] -2\, I_{\mathrm{к}1} + 4\, I_{\mathrm{к}2} = 6 \end{cases}

(5.7)

Упростим: $2 I_{\mathrm{к}1} - I_{\mathrm{к}2} = 6$ , $-I_{\mathrm{к}1} + 2 I_{\mathrm{к}2} = 3$ . Из первого $I_{\mathrm{к}2} = 2 I_{\mathrm{к}1} - 6$ . Подстановка во второе:

-I_{\mathrm{к}1} + 2(2 I_{\mathrm{к}1} - 6) = 3 \implies 3 I_{\mathrm{к}1} = 15 \implies I_{\mathrm{к}1} = 5\ \text{А}

(5.8)

I_{\mathrm{к}2} = 2\cdot 5 - 6 = 4\ \text{А}

(5.9)

Токи ветвей

I_1 = I_{\mathrm{к}1} = 5\ \text{А} \quad\text{(слева вниз)}

(5.10)

I_2 = I_{\mathrm{к}2} = 4\ \text{А} \quad\text{(справа вниз)}

(5.11)

I_3 = I_{\mathrm{к}1} - I_{\mathrm{к}2} = 5 - 4 = 1\ \text{А} \quad\text{(по R₃ вниз)}

(5.12)

Баланс мощностей

P_{R} = I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 + I_3^2 R_3 = 25\cdot 2 + 16\cdot 2 + 1\cdot 2 = 84\ \text{Вт}

(5.13)

P_{E} = E_1 I_1 + E_2 I_2 = 12\cdot 5 + 6\cdot 4 = 84\ \text{Вт}

(5.14)

Сошлось — оба источника отдают энергию, резисторы потребляют.

Пример

Пример 2. Контур с источником тока

В схеме рис. 5.3: R₁ = 3 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 2 Ом, E = 20 В (стрелка вниз), J = 2 А (двойная стрелка вниз). Правый контурный ток проходит через источник тока — он сразу известен.

Рис. 5.3 — Источник тока J в правом контуре: Iₖ₂ = J, неизвестен только Iₖ₁

Известный контурный ток

Через ветвь с J проходит только Iₖ₂, и направления совпадают:

I_{\mathrm{к}2} = J = 2\ \text{А}

(5.15)

Уравнение для правого контура не пишем: напряжение на идеальном источнике тока заранее неизвестно, зато сам ток уже найден.

Уравнение для левого контура

R_{11} = R_1 + R_2 = 3 + 4 = 7\ \text{Ом}, \qquad R_{12} = -R_2 = -4\ \text{Ом}

(5.16)

7\, I_{\mathrm{к}1} - 4\, I_{\mathrm{к}2} = E

(5.17)

7\, I_{\mathrm{к}1} - 4\cdot 2 = 20 \implies 7\, I_{\mathrm{к}1} = 28 \implies I_{\mathrm{к}1} = 4\ \text{А}

(5.18)

Токи ветвей

I_{R_1} = I_{\mathrm{к}1} = 4\ \text{А}

(5.19)

I_{R_2} = I_{\mathrm{к}1} - I_{\mathrm{к}2} = 4 - 2 = 2\ \text{А}

(5.20)

I_{R_3} = I_{\mathrm{к}2} = 2\ \text{А} = J

(5.21)

Напряжение на источнике тока и баланс

Для правого контура по второму закону Кирхгофа (обход по Iₖ₂):

I_{\mathrm{к}2}\, R_3 + U_J + (I_{\mathrm{к}2} - I_{\mathrm{к}1})\, R_2 = 0

(5.22)

U_J = -2\cdot 2 - (2 - 4)\cdot 4 = -4 + 8 = 4\ \text{В}

(5.23)

Мощности:

P_R = 4^2\cdot 3 + 2^2\cdot 4 + 2^2\cdot 2 = 48 + 16 + 8 = 72\ \text{Вт}

(5.24)

P_E = E\cdot I_{\mathrm{к}1} = 20\cdot 4 = 80\ \text{Вт (отдаёт)}

(5.25)

P_J = U_J\cdot J = 4\cdot 2 = 8\ \text{Вт (потребляет)}

(5.26)

P_E = P_R + P_J = 72 + 8 = 80\ \text{Вт}

(5.27)

Источник тока здесь работает как потребитель: ток идёт в сторону падения напряжения на нём. Баланс сходится.

Когда выбирать контурные токи, а когда — узловые потенциалы

мало независимых контуров (схема «вытянута» вширь) — удобнее метод контурных токов;
мало узлов (много параллельных ветвей) — удобнее метод узловых потенциалов;
много источников тока — у контурных токов часть неизвестных сразу известна; много ЭДС при малом числе узлов — чаще выигрывают узловые потенциалы.

Оба метода — сжатая запись той же системы Кирхгофа. Имеет смысл уметь оба: на контрольной часто требуют именно тот, который даёт меньше уравнений.

В калькуляторе можно собрать свою схему и выбрать метод контурных токов — система уравнений, контурные токи и баланс мощностей появятся по шагам с вашими числами.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →