Основы ТОЭ · Электрические цепи постоянного тока

Электрическая цепь и её элементы

Электрическая цепь — это совокупность устройств и соединительных проводников, образующих пути для электрического тока. В расчётах ТОЭ реальные устройства заменяют схемой: источники создают энергию поля, приёмники её потребляют или запасают, а проводники связывают элементы в ветви, узлы и контуры.

Рис. 1.1 — Простейшая замкнутая цепь: источник ЭДС E, внутреннее сопротивление r, выключатель S и нагрузка R

Основные величины цепи

Ток показывает, какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за единицу времени. Условное положительное направление тока выбирают произвольно; если после расчёта ток получился отрицательным, значит реальное направление противоположно выбранному.

i = \dfrac{dq}{dt}, \qquad I = \dfrac{Q}{t}

(1.1)

Напряжение между точками a и b равно разности их потенциалов и работе электрического поля по переносу единичного положительного заряда:

u_{ab} = \varphi_a - \varphi_b = \dfrac{A_{ab}}{q}

(1.2)

Электродвижущая сила источника характеризует работу сторонних сил внутри источника. В отличие от напряжения на внешних зажимах, ЭДС относится именно к преобразованию неэлектрической энергии в электрическую:

E = \dfrac{A_{\text{ст}}}{q}

(1.3)

Элементы схемы

В расчётной схеме используют идеализированные элементы. Идеальный резистор описывает необратимое превращение электрической энергии в тепло, идеальный источник ЭДС поддерживает заданное напряжение, а идеальный источник тока поддерживает заданный ток независимо от напряжения на своих зажимах.

Рис. 1.2 — Основные условные обозначения элементов электрической цепи

Пассивные элементы

Пассивный элемент не создаёт электрическую энергию. Для резистора основная связь — закон Ома:

u_R = R i, \qquad i = G u_R, \qquad G = \dfrac{1}{R}

(1.4)

Здесь $R$ — сопротивление в омах, $G$ — проводимость в сименсах.

Накопители энергии

Конденсатор запасает энергию в электрическом поле, катушка — в магнитном поле. В цепях постоянного тока при установившемся режиме идеальный конденсатор разомкнут, а идеальная катушка заменяется проводником.

q = C u_C,\qquad i_C = C\dfrac{du_C}{dt}

(1.5)

\psi = L i_L,\qquad u_L = L\dfrac{di_L}{dt}

(1.6)

Активные элементы

Активный элемент способен отдавать энергию во внешнюю цепь: источник ЭДС, источник тока, управляемый источник. Реальный источник часто заменяют идеальным источником ЭДС E и внутренним сопротивлением r.

U = E - I r

(1.7)

Формула (1.7) записана для генераторного режима, когда источник отдаёт ток во внешнюю цепь.

Ветвь, узел и контур

Чтобы перейти от рисунка к уравнениям, схему разбивают на топологические части. Ветвь — участок между двумя соседними узлами, по всем элементам ветви течёт один и тот же ток. Узел — точка соединения трёх и более ветвей или вся область идеального проводника с одним потенциалом. Контур — любой замкнутый путь по ветвям схемы.

Рис. 1.3 — Ветвь между узлами a и b: направление тока и полярность напряжения задаются перед расчётом

Для ветви с сопротивлением R и источником ЭДС E удобно записывать обобщённый закон Ома. Если ток выбран от узла a к узлу b, а ЭДС направлена в ту же сторону, то:

I_{ab} = \dfrac{\varphi_a - \varphi_b + E_{ab}}{R}

(1.8)

Если источник ЭДС в ветви отсутствует, то $E_{ab}=0$ и формула переходит в обычный закон Ома для участка цепи:

I_{ab} = \dfrac{\varphi_a - \varphi_b}{R}

(1.9)

Мощность и баланс энергии

Мгновенная мощность равна произведению напряжения на ток. Для резистора она всегда неотрицательна: резистор потребляет энергию, а не создаёт её.

p = u i,\qquad P = U I

(1.10)

P_R = I^2 R = \dfrac{U_R^2}{R}

(1.11)

В любой замкнутой цепи при установившемся режиме выполняется баланс: мощность, отдаваемая источниками, равна мощности, рассеиваемой и запасаемой приёмниками. Для простой цепи с источником E, внутренним сопротивлением r и нагрузкой R:

I = \dfrac{E}{R + r},\qquad U_R = I R,\qquad P_R = I^2 R

(1.12)

Пример

Источник постоянного тока с нагрузкой

Источник имеет ЭДС E = 24 В и внутреннее сопротивление r = 2 Ом. К нему подключена нагрузка R = 10 Ом. Найдём ток цепи, напряжение на нагрузке и проверим баланс мощности.

Рис. 1.4 — Расчётная схема примера: реальный источник и резистивная нагрузка

Полное сопротивление цепи

R_{\Sigma} = R + r = 10 + 2 = 12\ \text{Ом}

(1.13)

Ток в замкнутой цепи

I = \dfrac{E}{R_{\Sigma}} = \dfrac{24}{12} = 2\ \text{А}

(1.14)

Напряжение на зажимах источника и на нагрузке

U = E - I r = 24 - 2 \cdot 2 = 20\ \text{В}

(1.15)

U_R = I R = 2 \cdot 10 = 20\ \text{В}

(1.16)

Напряжение на зажимах источника совпало с напряжением на нагрузке, потому что соединительные провода считаются идеальными.

Проверка баланса мощности

P_E = E I = 24 \cdot 2 = 48\ \text{Вт}

(1.17)

P_R = I^2 R = 2^2 \cdot 10 = 40\ \text{Вт}

(1.18)

P_r = I^2 r = 2^2 \cdot 2 = 8\ \text{Вт}

(1.19)

P_R + P_r = 40 + 8 = 48\ \text{Вт} = P_E

(1.20)

Баланс сошёлся: вся мощность, созданная источником, ушла в нагрузку и во внутреннее сопротивление источника.

В следующих темах эти определения превращаются в рабочие уравнения: закон Ома для ветви с ЭДС, затем уравнения Кирхгофа, узловые потенциалы и контурные токи.

Проверьте на калькуляторе

Соберите свою схему и получите готовое решение с ходом расчёта за пару минут — бесплатно.

Открыть калькулятор

Не сходится или нет времени?

Опишите задание и приложите файл — решим и оформим по ГОСТ, как для сдачи преподавателю.

Заказать решение Написать в Telegram →